Teorie conformi 1 : nozioni base
Trasformazioni conformi in uno spazio (pseudo-)riemannaniano D-dimensionale:
Nel
caso D>2 queste trasformazioni infinitesime si esponenziano
a formare il gruppo conforme SO(p+1,q+1)
Nel caso D=2 dobbiamo distinguere tra gruppo
conforme LOCALE e
GLOBALE
Si consideri
per primo il piano euclideo (p=2,q=0).
Conviene fare
uso delle coordinate complesse:
Sul
piano proiettivo, o sfera di Riemann, un campo vettoriale analitico
In una teoria di campo locale su uno spazio (pseudo-)euclideo D-dimensionale
con
azione S invariante per traslazione, la variazione
di
S
si
scrive
Nella
formulazione funzionale euclidea di una teoria quantistica di campo,
le funzioni di
correlazione
si scrivono:
Dato
che il valore di un integrale resta immutato cambiando variabili di integrazione,
si
ottengono
le identita`
di Ward :
ed in particolare,
Si
ottengono cosi':
In D=2 si distingue tra campi primari rispetto al solo gruppo
conforme globale, cioe` campi
quasi-primari e campi primari rispetto al gruppo locale,
o primari tout court.
Quindi
l'invarianza conforme fissa le seguenti forme per le funzioni di correlazione
sul piano euclideo di tutti i campi quasi-primari chirali
(cioe` analitici o antianalitici):
[ N.B.: i campi chirali non sono in generale campi locali ]
Per
campi locali, che generalmente dipendono da entrambe le coordinate complesse,
avremo:
e analogamente
per le funzioni a piu` punti.
Nel caso di trasformazioni conformi locali, che fanno corrispondere al
piano complesso solo una
sua parte, la simmetria conforme agisce piuttosto come una covarianza,
la quale permette di otte-
nere le funzioni di correlazione su geometrie differenti a partire da quelle
del
piano proiettivo.
Si consideri come fondamentale esempio la trasformazione
che
mappa il piano nel cilindro infinitamente lungo di lunghezza L.
Per un campo (strettamente) primario abbiamo:
il che implica, ad esempio, per la funzione a due punti sul cilindro
